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数学Ⅰ・A・二次関数

二次関数の最大・最小（平方完成）

基礎約 25 分・練習問題 6 問

今日学ぶこと

  • y = ax2 + bx + c を平方完成して頂点を求められる
  • 定義域（x の範囲）があるときの最大・最小を求められる

解説

平方完成で「頂点」が見える

y = x2 − 6x + 5 は、x の係数 −6 の半分 −3 を使って
y = (x − 3)2 − 9 + 5 = (x − 3)2 − 4
と変形できます（−9 は (x − 3)2 を展開したときに増える 9 を引いて調整した分）。
(x − 3)2 は 0 以上なので、x = 3 のとき最小値 −4。グラフの頂点は (3, −4) です。

x2 の係数が 1 でないとき

y = 2x2 − 8x + 3 なら、まず x の項を 2 でくくります。
y = 2(x2 − 4x) + 3 = 2{(x − 2)2 − 4} + 3 = 2(x − 2)2 − 5
頂点は (2, −5)。くくった 2 を −4 にもかけ忘れないのがポイントです。

グラフの向きと最大・最小

x がすべての実数をとるとき（範囲の制限がないとき）：
a > 0（下に凸）：頂点で最小、最大値はない。
a < 0（上に凸）：頂点で最大、最小値はない。
x の範囲が決められているときは、最大値・最小値の両方がありうるので、次の方法で調べます。

x の範囲（定義域）があるとき

グラフをかき、①頂点が範囲の中にあるか、②範囲の両端の値はいくつか、を比べます。
下に凸なら、頂点が範囲内のとき最小値は頂点、最大値は「頂点（軸）から遠いほうの端」です。頂点が範囲の外にあるときは、最小値も端（頂点に近いほうの端）でとります。

解き方の例

y = x2 − 4x + 7 の最小値を求めよ。

解き方を見る
  1. x の係数 −4 の半分は −2
  2. y = (x − 2)2 − 4 + 7 = (x − 2)2 + 3
  3. x2 の係数が正（下に凸）なので、頂点で最小

答え　x = 2 のとき最小値 3

練習問題

選んで「答え合わせ」を押すと、正解と解説が表示されます。記録はどこにも送信・保存されません。

問1

y = x2 + 4x + 1 の最小値はどれか。

答えと解説

正解：ウ　−3

y = (x + 2)2 − 4 + 1 = (x + 2)2 − 3。下に凸なので x = −2 のとき最小値 −3。

問2

y = 2x2 − 8x + 3 のグラフの頂点はどれか。

答えと解説

正解：イ　(2, −5)

y = 2(x2 − 4x) + 3 = 2(x − 2)2 − 8 + 3 = 2(x − 2)2 − 5。頂点は (2, −5)。

問3

y = −x2 + 6x − 4 の最大値はどれか。

答えと解説

正解：ウ　5

y = −(x2 − 6x) − 4 = −(x − 3)2 + 9 − 4 = −(x − 3)2 + 5。上に凸なので x = 3 のとき最大値 5。

問4

y = x2 − 2x（0 ≦ x ≦ 3）の最大値はどれか。

答えと解説

正解：イ　3

y = (x − 1)2 − 1。頂点 x = 1 は範囲内。下に凸なので最大値は頂点から遠い端 x = 3 で、y = 9 − 6 = 3。

問5

y = x2 − 2x（0 ≦ x ≦ 3）の最小値はどれか。

答えと解説

正解：ウ　−1

頂点 (1, −1) が範囲内にあり、下に凸なので最小値は頂点の y 座標 −1。

問6

y = x2 + 2x + k の最小値が 3 になるような定数 k の値はどれか。

答えと解説

正解：ア　4

y = (x + 1)2 + k − 1。最小値は k − 1 なので、k − 1 = 3 より k = 4。

よくある間違い

  • 平方完成で引く数（(x の係数の半分)2）を忘れる
  • x2 の係数でくくったあと、引く数にその係数をかけ忘れる
  • 範囲があるのに、端の値を確かめずに頂点だけで答える

復習ポイント

  • 平方完成 → 頂点 → グラフの向き → 範囲の端、の順に確認
  • 最大は「頂点から遠い端」、最小は「頂点（範囲内なら）」（下に凸のとき）

教材制作：テラコヤ（2026-10-28 作成）・公開確認 2026-10-28